Ðîäèëñÿ â Áàêó. Â âîçðàñòå 15-è ëåò ïîñòóïèë â Áàêèíñêóþ Ìóçûêàëüíóþ Àêàäåìèþ èìåíè Óçåèðà Ãàäæèáåêîâà è îêîí÷èë åå ñ îòëè÷èåì â 2005 ãîäó.  2005-2008 ó÷èëñÿ â àñïèðàíòóðå Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîé ãîñóäàðñòâåííîé êîíñåðâàòîðèè èìåíè Í.À.Ðèìñêîãî-Êîðñàêîâà (êàôåäðà îïåðíî-ñèìôîíè÷åñêîãî äèðèæèðîâàíèÿ, êëàññ ïðîôåññîðà À.È.Ïîëèùóêà).  2008-2010 ãîäàõ ñòàæèðîâàëñÿ â Âåíñêîì Óíèâåðñèòåòå ìóçûêè è èçÿùíûõ èñêóññòâ (êëàññ ïðîôåññîðà Ìàðêà Ñòðèíãåðà) è Åâðîïåéñêîé Ìóçûêàëüíîé Àêàäåìèè â ×åõèè (êëàññ ïðîôåññîðà Éîõàííåñà Øëåôëè).  2006-2010 ó÷àñòâîâàë â ìàñòåð-êëàññàõ Ìèõàèëà Þðîâñêîãî, Þðèÿ Ñèìîíîâà, Äàíèýëÿ Õàðäèíãà è Ðèêêàðäî Êàïàññî.

Ãëàâíûé äèðèæ¸ð è ìóçûêàëüíûé ðóêîâîäèòåëü Ãîñóäàðñòâåííîãî òåàòðà îïåðû è áàëåòà Àçåðáàéäæàíà, ãëàâíûé ïðèãëàøåííûé äèðèæ¸ð Êóíìèíñêîãî ôèëàðìîíè÷åñêîãî îðêåñòðà (Êèòàé), Çàñëóæåííûé àðòèñò Àçåðáàéäæàíà (2017), ëàóðåàò Ïðåçèäåíòñêîé Ïðåìèè, ëàóðåàò ìåæäóíàðîäíûõ êîíêóðñîâ. Ñ 2013 ïî 2017 ãîä ãîäà ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì ïðèãëàøåííûì äèðèæåðîì Àêàäåìè÷åñêîãî ñèìôîíè÷åñêîãî îðêåñòðà èìåíè Â.È.Ñàôîíîâà (Ðîññèÿ).

 1997 ãîäó ïðèíèìàë ó÷àñòèå â þáèëåéíûõ òîðæåñòâàõ ëåãåíäàðíîãî ìóçûêàíòà, âèîëîí÷åëèñòà Ìñòèñëàâà Ðîñòðîïîâè÷à â Áàêó è Ìîñêâå.  1998 ãîäó â ñîîòâåòñòâèè ñ óêàçîì Ïðåçèäåíòà Àçåðáàéäæàíà Ãåéäàðà Àëèåâà åãî èìÿ çàíåñåíî â «Çîëîòóþ Êíèãó ìîëîäûõ òàëàíòîâ». Òàêæå îí óäîñòîèëñÿ ïðåçèäåíòñêîé ñòèïåíäèè.  2002 ãîäó ñòàë ëàóðåàòîì ïðåìèè «Ëó÷øèé ìóçûêàíò ãîäà» ôîíäà «Äðóçåé êóëüòóðû Àçåðáàéäæàíà». 
 ìàå 2006 ãîäà ñîñòîÿëñÿ äåáþò â êà÷åñòâå îïåðíîãî äèðèæåðà â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîì àêàäåìè÷åñêîì òåàòðà îïåðû è áàëåòà («Ñâàäüáà Ôèãàðî» Â.À.Ìîöàðòà).  òîì æå ãîäó îí ñòàë ëàóðåàòîì ïðåìèè «Äîñòèæåíèå ãîäà» Ìåæäóíàðîäíîãî êóëüòóðíîãî öåíòðà, à â 2009 ãîäó áûë óäîñòîåí Ãîñóäàðñòâåííîé ïðåìèè «Âåðøèíà» Ìèíèñòåðñòâà êóëüòóðû Àçåðáàéäæàíà.

 2006 çàíÿë ïåðâîå ìåñòî è ïîëó÷èë «Ïðèç îðêåñòðà» íà IV Ìåæäóíàðîäíîì êîíêóðñå äèðèæåðîâ èì. Â.Ëþòîñëàâñêîãî â Ïîëüøå, äèïëîì íà êîíêóðñå èìåíè Ë.Ìàòà÷è÷à â Çàãðåáå (2007), ñïåöèàëüíûé ïðèç îðêåñòðà "Orchestra Preference Award" íà êîíêóðñå èìåíè Ä.Ìèòðîïóëîñà â Àôèíàõ (2008), I ïðåìèþ íà êîíêóðñå äèðèæåðîâ â Êðàéîâà (Ðóìûíèÿ), Ãðàí-Ïðè è «Ïðèç Äæóçåïïå Ñèíîïîëè» íà IX ìåæäóíàðîäíîì êîíêóðñå èìåíè À.Òîñêàíèíè â Ïàðìå (Èòàëèÿ) è II ïðåìèþ íà êîíêóðñå "Debut in Laeszhalle" â Ãàìáóðãå.  2011 â êà÷åñòâå ïîáåäèòåëÿ êîíêóðñà ðóêîâîäèë ôèëàðìîíè÷åñêèì îðêåñòðîì Òîñêàíèíè âî âðåìÿ ãàñòðîëåé êîëëåêòèâà â Èòàëèè è Èñïàíèè.  2009 ãîäó áûë óäîñòîåí Ïðèçà çðèòåëüñêèõ ñèìïàòèé íà ìåæäóíàðîäíîì ôåñòèâàëå «Ìóçûêàëüíûé Îëèìï» â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå. 

 2011 ãîäó áûë ïðèãëàøåí â Àçåðáàéäæàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àêàäåìè÷åñêèé òåàòð îïåðû è áàëåòà íà äèðèæåðà âûñøåé êâàëèôèêàöèè.  2013-2017 ÿâëÿëñÿ ãëàâíûì ïðèãëàøåííûì äèðèæåðîì Ñåâåðî-Êàâêàçñêîé ôèëàðìîíèè èìåíè Â.Ñàôîíîâà.  íîÿáðå 2018 ãîäà íàçíà÷åí íà äîëæíîñòü ìóçûêàëüíîãî ðóêîâîäèòåëÿ è ãëàâíîãî äèðèæåðà Ãîñóäàðñòâåííîãî àêàäåìè÷åñêîãî òåàòðà îïåðû è áàëåòà Àçåðáàéäæàíà. 

Ñîòðóäíè÷àë ñ Êîðîëåâñêèì ôèëàðìîíè÷åñêèì îðêåñòðîì Âåëèêîáðèòàíèè, Ôèëàðìîíè÷åñêèì îðêåñòðîì Ðàäèî Ôðàíöèè, "Hamburg Klassik", Íàöèîíàëüíûì îðêåñòðîì Ôðàíöèè "Lamoreux", îðêåñòðîì "Helios", Âåíñêèì êàìåðíûì îðêåñòðîì, Íüþ-Éîðêñêèì ôèëàðìîíè÷åñêèì îðêåñòðîì, îðêåñòð Äæóëèàðäñêîé êîíñåðâàòîðèè Íüþ-Éîðêà, Ôèëàðìîíè÷åñêèì îðêåñòðîì Ñëîâàêèè, ñèìôîíè÷åñêèì îðêåñòðîì "Colours" (Ãðåöèÿ), ôèëàðìîíè÷åñêèìè îðêåñòðàìè Êèòàÿ - Ñû÷óàíü è Êóíìèí, êàìåðíûì îðêåñòðîì «Äóíàé» è íàöèîíàëüíûé ñèìôîíè÷åñêèé îðêåñòð Âåíãðèè è ìíîãèìè äðóãèìè. Ñðåäè ðîññèéñêèõ êîëëåêòèâîâ: Ðîññèéñêèé íàöèîíàëüíûé îðêåñòð, Ìîñêîâñêèé ôèëàðìîíè÷åñêèé îðêåñòð, îðêåñòð «Ðóññêàÿ ôèëàðìîíèÿ», îðêåñòð Ìàðèèíñêîãî òåàòðà, îðêåñòð èìåíè Ñ.Ðèõòåðà (Ìîñêâà), îðêåñòð Ãîñóäàðñòâåííîé àêàäåìè÷åñêîé êàïåëëû Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, Àêàäåìè÷åñêèé ñèìôîíè÷åñêèé îðêåñòð Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîé ôèëàðìîíèè, Ãîñóäàðñòâåííûé ñèìôîíè÷åñêèé îðêåñòð Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, îðêåñòð Íîâîñèáèðñêîé ôèëàðìîíèè, îðêåñòð Êàëèíèíãðàäñêîé ôèëàðìîíèè, êàìåðíûé îðêåñòð Ñìîëåíñêîé ôèëàðìîíèè, îðêåñòð Ýðìèòàæà «Êàìåðàòà» Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà.

Îïåðíûå ïîñòàíîâêè ïîä ðóêîâîäñòâîì äèðèæåðà ïðîõîäèëè â Ìèõàéëîâñêîì òåàòðå Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, Íàöèîíàëüíîì îïåðíîì òåàòðà Ñåðáèè, Îïåðíîì òåàòðå èì. Ý.Òåîäîðèíè (Ðóìûíèÿ), îïåðíîì òåàòðå Âðîöëàâà â Ïîëüøå. Ýéþá Êóëèåâ ÿâëÿåòñÿ ìóçûêàëüíûì ðóêîâîäèòåëåì ïðåìüåðíûõ ñïåêòàêëåé â Àçåðáàéäæàíñêîì îïåðíîì òåàòðå - îïåðà «Àëïàìûñ» Å.Ðàõìàäèåâà, «Ñâàäüáà Ôèãàðî» Â.Ìîöàðòà, «Áàë-ìàñêàðàä» Äæ.Âåðäè è äðóãèå. Òàêæå ïîä åãî ðóêîâîäñòâîì ñîñòîÿëàñü ïðåìüåðà áàëåòà «Ëþáîâü è ñìåðòü» Ï.Áþëüáþëü îãëû â Áîëüøîì òåàòðå Ðåñïóáëèêè Áåëàðóñü è êëàññè÷åñêàÿ âåðñèÿ áàëåòà «Æèçåëü» â òåàòðå Âðîöëàâà â Ïîëüøå.
 ôåâðàëå 2010 ãîäà ñîñòîÿëñÿ äåáþò â ÑØÀ íà êîíöåðòå «Øåñòü âîñõîäÿùèõ çâåçä» â Êàðíåãè-õîëëå, â 2014 – â Âåíñêîì Êîíöåðòõàóñå (Àâñòðèÿ), â Òåàòð Åëèñåéñêèõ Ïîëåé â Ïàðèæå (2015) è Êîíöåðòíîì çàëå "Laeiszhalle" â Ãàìáóðãå (2018).

Ýéþá Êóëèåâ òàêæå âåäåò àêòèâíóþ ïåäàãîãè÷åñêóþ äåÿòåëüíîñòü – îí ÿâëÿåòñÿ äîöåíòîì Áàêèíñêîé ìóçûêàëüíîé àêàäåìèè èìåíè Óçåèðà Ãàäæèáåêîâà.

ìàðò 2024