Родился в Баку. В возрасте 15-и лет поступил в Бакинскую Музыкальную Академию имени Узеира Гаджибекова и окончил ее с отличием в 2005 году. В 2005-2008 учился в аспирантуре Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н.А.Римского-Корсакова (кафедра оперно-симфонического дирижирования, класс профессора А.И.Полищука). В 2008-2010 годах стажировался в Венском Университете музыки и изящных искусств (класс профессора Марка Стрингера) и Европейской Музыкальной Академии в Чехии (класс профессора Йоханнеса Шлефли). В 2006-2010 участвовал в мастер-классах Михаила Юровского, Юрия Симонова, Даниэля Хардинга и Риккардо Капассо.

Главный дирижёр и музыкальный руководитель Государственного театра оперы и балета Азербайджана, главный приглашенный дирижёр Кунминского филармонического оркестра (Китай), Заслуженный артист Азербайджана (2017), лауреат Президентской Премии, лауреат международных конкурсов. С 2013 по 2017 год года является главным приглашенным дирижером Академического симфонического оркестра имени В.И.Сафонова (Россия).

В 1997 году принимал участие в юбилейных торжествах легендарного музыканта, виолончелиста Мстислава Ростроповича в Баку и Москве. В 1998 году в соответствии с указом Президента Азербайджана Гейдара Алиева его имя занесено в «Золотую Книгу молодых талантов». Также он удостоился президентской стипендии. В 2002 году стал лауреатом премии «Лучший музыкант года» фонда «Друзей культуры Азербайджана». 
В мае 2006 года состоялся дебют в качестве оперного дирижера в Санкт-Петербургском академическом театра оперы и балета («Свадьба Фигаро» В.А.Моцарта). В том же году он стал лауреатом премии «Достижение года» Международного культурного центра, а в 2009 году был удостоен Государственной премии «Вершина» Министерства культуры Азербайджана.

В 2006 занял первое место и получил «Приз оркестра» на IV Международном конкурсе дирижеров им. В.Лютославского в Польше, диплом на конкурсе имени Л.Матачича в Загребе (2007), специальный приз оркестра "Orchestra Preference Award" на конкурсе имени Д.Митропулоса в Афинах (2008), I премию на конкурсе дирижеров в Крайова (Румыния), Гран-При и «Приз Джузеппе Синополи» на IX международном конкурсе имени А.Тосканини в Парме (Италия) и II премию на конкурсе "Debut in Laeszhalle" в Гамбурге. В 2011 в качестве победителя конкурса руководил филармоническим оркестром Тосканини во время гастролей коллектива в Италии и Испании. В 2009 году был удостоен Приза зрительских симпатий на международном фестивале «Музыкальный Олимп» в Санкт-Петербурге. 

В 2011 году был приглашен в Азербайджанский государственный академический театр оперы и балета на дирижера высшей квалификации. В 2013-2017 являлся главным приглашенным дирижером Северо-Кавказской филармонии имени В.Сафонова. В ноябре 2018 года назначен на должность музыкального руководителя и главного дирижера Государственного академического театра оперы и балета Азербайджана. 

Сотрудничал с Королевским филармоническим оркестром Великобритании, Филармоническим оркестром Радио Франции, "Hamburg Klassik", Национальным оркестром Франции "Lamoreux", оркестром "Helios", Венским камерным оркестром, Нью-Йоркским филармоническим оркестром, оркестр Джулиардской консерватории Нью-Йорка, Филармоническим оркестром Словакии, симфоническим оркестром "Colours" (Греция), филармоническими оркестрами Китая - Сычуань и Кунмин, камерным оркестром «Дунай» и национальный симфонический оркестр Венгрии и многими другими. Среди российских коллективов: Российский национальный оркестр, Московский филармонический оркестр, оркестр «Русская филармония», оркестр Мариинского театра, оркестр имени С.Рихтера (Москва), оркестр Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, Академический симфонический оркестр Санкт-Петербургской филармонии, Государственный симфонический оркестр Санкт-Петербурга, оркестр Новосибирской филармонии, оркестр Калининградской филармонии, камерный оркестр Смоленской филармонии, оркестр Эрмитажа «Камерата» Санкт-Петербурга.

Оперные постановки под руководством дирижера проходили в Михайловском театре Санкт-Петербурга, Национальном оперном театра Сербии, Оперном театре им. Э.Теодорини (Румыния), оперном театре Вроцлава в Польше. Эйюб Кулиев является музыкальным руководителем премьерных спектаклей в Азербайджанском оперном театре - опера «Алпамыс» Е.Рахмадиева, «Свадьба Фигаро» В.Моцарта, «Бал-маскарад» Дж.Верди и другие. Также под его руководством состоялась премьера балета «Любовь и смерть» П.Бюльбюль оглы в Большом театре Республики Беларусь и классическая версия балета «Жизель» в театре Вроцлава в Польше.
В феврале 2010 года состоялся дебют в США на концерте «Шесть восходящих звезд» в Карнеги-холле, в 2014 – в Венском Концертхаусе (Австрия), в Театр Елисейских Полей в Париже (2015) и Концертном зале "Laeiszhalle" в Гамбурге (2018).

Эйюб Кулиев также ведет активную педагогическую деятельность – он является доцентом Бакинской музыкальной академии имени Узеира Гаджибекова.

март 2024