Нарек Ахназарян родился в 1988 году в Ереване в семье музыкантов. Окончил ереванскую Музыкальную школу имени Саят-Новы в классе Зарэ Саркисяна, Московскую государственную консерваторию имени П.И.Чайковского в классе профессора Алексея Селезнёва и бостонскую Консерваторию Новой Англии под руководством Лоуренса Лессера. В 22 года одержал победу на XIV Международном конкурсе имени П. И. Чайковского.

Среди ярких событий сезона 2020/21 – выступления с Николаем Луганским, Максимом Рысановым и Никитой Борисоглебским в составе квартета на сцене венского Концертхауса, Национальной аудитории в Мадриде, Концертного зала имени П.И. Чайковского и Концертного зала Мариинского театра; два концерта в зале «Зарядье» – с камерной программой в дуэте с пианистом Георгием Чаидзе, а также выступление с Симфоническим оркестром Мариинского театра под управлением Валерия Гергиева; концерт в Л’Аудитори с Симфоническим оркестром Барселоны, дирижер – Нуно Коэльо; сольное выступление в концертном зале Мариинского театра.

Обладатель I премий на Международном конкурсе имени Арама Хачатуряна в Ереване, Международном конкурсе молодых исполнителей на струнных инструментах имени Анны Йохансен в Вашингтоне (2006) и Young Concert Artists International Auditions в Нью-Йорке (2008). Стипендиат фондов «Русское исполнительское искусство» и «Новые имена», участник программ по продвижению молодых артистов New Generation Artist британского радио BBC (2014) и Great Talent венского Концертхауса (2017-2019).

Активно гастролирует по России, странам Европы, Азии и СНГ. В сезоне 2020/21 постоянный приглашенный артист Симфонического оркестра Финского радио, также выступает с такими коллективами, как Оркестр де Пари, Лондонские симфонический и филармонический оркестры, Роттердамский филармонический оркестр, оркестры Франкфуртского и Кёльнского радио, берлинского Концертхауса, Чешский филармонический оркестр, Королевский филармонический оркестр Стокгольма, Чикагский симфонический, Лос-Анджелесский филармонический, Симфонический оркестр Сиднея, Сеульский филармонический, Симфонический оркестр японской корпорации NHK, Эстонский национальный симфонический оркестр, Национальный филармонический оркестр России и другими.

Сотрудничал со многими знаменитыми дирижерами, среди которых Валерий Гергиев, Владимир Федосеев, Василий Синайский, Владимир Спиваков, Михаил Плетнев, Иржи Белоглавек, Тон Копман, Ханну Линту, Манфред Хонек, Джанандреа Нозеда, Неэме Ярви, Пааво Ярви, Юкка-Пекка Сарасте, Инго Метцмахер, Марк Альбрехт, Марин Олсоп, Якуб Груша. Также выступает с братом, дирижером Тиграном Ахназаряном.

Принимал участие в BBC Proms в Лондоне, а также в фестивалях, которые проходили в Люцерне, Бад-Киссингене, Миккели и Аспене. В 2019 году выступал в дуэте с пианистом Даниилом Трифоновым на фестивалях в Вербье и Рейнгау.

В составе Z.E.N. Trio записал диск на лейбле Deutsche Grammophon с сочинениями Иоганнеса Брамса и Антонина Дворжака.

Нарек Ахназарян играет на виолончели 1707 года работы Джузеппе Гварнери. В 2017 году удостоен звания «Заслуженный артист Армении».