Алексей Беляев родился в Ленинграде в музыкальной семье. Учился в детской музыкальной школе №11 Василеостровского района, в Музыкальном училище им. Н.А. Римского-Корсакова (закончил экстерном за 3 года), а затем в Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н.А. Римского-Корсакова (1992-1997).
В 1992 году Беляев стал лауреатом Всероссийского открытого конкурса исполнителей на медных духовых и ударных инструментах им. А. А. Нестерова (Нижний Новгород).
Алексей работал в Государственном симфоническом оркестре "Классика", в оркестре Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга. В 1996 поступил в Заслуженный коллектив России.
Музыкант выступает в составе Российского филармонического брасс-квинтета "Russian Brass".