Ãåííàäèé Áåççóáåíêîâ ðîäèëñÿ â Ñòàðîé Âèòåëåâêå Óëüÿíîâñêîé îáëàñòè.  1979 ãîäó îêîí÷èë Ëåíèíãðàäñêóþ ãîñóäàðñòâåííóþ êîíñåðâàòîðèþ èì. Í.À. Ðèìñêîãî-Êîðñàêîâà (êëàññ Á.Ì. Ëóøèíà è Í.Ë. Âåëüòåð).
Ñ 1989 ãîäà – ñîëèñò Ìàðèèíñêîãî òåàòðà.
Êîíöåðòíûé ðåïåðòóàð ïåâöà âêëþ÷àåò áàñîâûå ïàðòèè â Ðåêâèåìå Ìîöàðòà, «Ñîòâîðåíèè ìèðà» Ãàéäíà, Ðåêâèåìå Âåðäè, ñèìôîíèè ¹ 9 Áåòõîâåíà, Stabat mater Äâîðæàêà, «Ñâàäåáêå» Ñòðàâèíñêîãî, êàíòàòå «Ïåòåðáóðã» Ñâèðèäîâà, «Óòðåíè ¹ 2» è «Óòðåíè ¹ 3» Ïåíäåðåöêîãî, «Ñòðàñòÿõ ïî Èîàííó» Ãóáàéäóëèíîé è «Ìèñòåðèè àïîñòîëà Ïàâëà» Êàðåòíèêîâà.

Ñ òðóïïîé Ìàðèèíñêîãî òåàòðà Ãåííàäèé Áåççóáåíêîâ ãàñòðîëèðîâàë â Ãåðìàíèè, Ôðàíöèè, Øîòëàíäèè, Èçðàèëå, ÑØÀ, Ôèíëÿíäèè, Èòàëèè, Èñïàíèè, Àâñòðèè, Ãîëëàíäèè, Áåëüãèè, ßïîíèè, Ïîðòóãàëèè, Ëþêñåìáóðãå è Òóðöèè. Êàê ïðèãëàøåííûé ñîëèñò âûñòóïàë íà ñöåíàõ Êîðîëåâñêîãî îïåðíîãî òåàòðà Êîâåíò-Ãàðäåí (Ëîíäîí), òåàòðà Ëà Ôåíè÷å (Âåíåöèÿ), òåàòðà Ëà Ñêàëà (Ìèëàí), Ìåòðîïîëèòåí-îïåðà (Íüþ-Éîðê), Ðèìñêîãî îïåðíîãî òåàòðà è Ëîñ-Àíäæåëåññêîãî îïåðíîãî òåàòðà; ïðèíèìàë ó÷àñòèå â îïåðíûõ ôåñòèâàëÿõ â Ýäèíáóðãå è Ñàâîíëèííå.

Ãåííàäèé Áåççóáåíêîâ ñîòðóäíè÷àë ñ âûäàþùèìèñÿ ìóçûêàíòàìè ñîâðåìåííîñòè, ñðåäè êîòîðûõ äèðèæåðû Âàëåðèé Ãåðãèåâ, Äæåéìñ Ëèâàéí, Þðèé Òåìèðêàíîâ, Åâãåíèé Ñâåòëàíîâ, Ìàðèñ ßíñîíñ, Ãèíòàðàñ Ðèíêÿâè÷þñ è ïåâöû Ëó÷àíî Ïàâàðîòòè, Ïëàñèäî Äîìèíãî, Äåáîðà Âîéò, Îëüãà Áîðîäèíà, Ñåðãåé Ëàðèí è Äìèòðèé Õâîðîñòîâñêèé. Ó÷àñòâîâàë â àóäèî è âèäåîçàïèñÿõ ñïåêòàêëåé Ìàðèèíñêîãî òåàòðà «Âîéíà è ìèð», «Ðóñëàí è Ëþäìèëà», «Èîëàíòà», «Ñàäêî», «Îãíåííûé àíãåë», «Öàðñêàÿ íåâåñòà», «Ïñêîâèòÿíêà» (îðêåñòð Ìàðèèíñêîãî òåàòðà ïîä óïðàâëåíèåì Âàëåðèÿ Ãåðãèåâà; çâóêîçàïèñûâàþùèå êîìïàíèè Philhps Classics è NHK).