Эльшад Багиров родился в семье известного азербайджанского композитора Закира Багирова. После окончания Азербайджанской Государственной Консерватории им. Уз. Гаджибекова Эльшад Багиров продолжает своё обучение в Ленинградской (Санкт-Петербургской) консерватории на факультете "Оперно-симфоническое дирижирование" в классе Арвида Янсонса.
С 1980 году Эльшад Багиров начинает работать в Академическом Большом театре в качестве дирижёра-ассистента. Работает с такими оркестрами как Большой симфонический оркестр Всесоюзного радио и телевидения, Ленинградский оркестр Оперной студии. Азербайджанский государственный симфонический оркестр, Эстонский государственный оркестр, Ульяновский симфонический оркестр и др.
В 1986 году Эльшад Багиров был приглашён в Турцию, где работает в Стамбульском государственном театре оперы и балета.
Постоянно участвует в международных музыкальных фестивалях.