Алексей Осипов родился в Санкт-Петербурге в семье музыкантов. В 2000 году поступил в Среднюю специальную школу-лицей при Санкт-Петербургской государственной консерватории им.Н.А.Римского-Корсакова (класс В.Ю.Овчарека, с 2007 по 2011 год - класс В.А.Добрыниной). После окончания школы-лицея поступил в Высшую школу музыки Лозанны, где успешно окончил бакалавриат, а затем и магистратуру под руководством П.Амойяля, после чего закончил вторую степень магистра в классе С.Макаровой. В 2017 году окончил аспирантуру в Консерватории Фьезоле под руководством П.Верникова и К.Вегжина.

Лауреат таких сольных и камерных международных конкурсов, как Международный конкурс скрипачей в Париже (2005, I премия), Международный конкурс во Львове (Украина, 2006), Международный конкурс камерных ансамблей «Окно в Европу» (Санкт-Петербург, 2008, I премия), Международный конкурс камерных ансамблей «Новые Имена» (Москва, 2008), Международный конкурс камерных ансамблей им.Д.Д.Шостаковича (Москва, 2008), Международный конкурс камерных ансамблей "Charles Hennen Concours" (Голландия, 2008, I премия), конкурс фонда “LALIVE” в Женеве (2012), Лозаннский конкурс интерпретаций (2013, специальный приз) и Международный конкурс во Фьезоле (2017, I премия, приз Ротари-клаб Фьезоле).

Участник многих престижных фестивалей, среди которых фестиваль “Kissinger Sommer” в Германии, фестиваль Владимира Спивакова в Москве, концертные сезоны "Abu Dhabi classics" в ОАЭ, фестиваль в Сьоне, Швейцария.

Выступал в таких залах Санкт-Петербурга, как Концертный зал Мариинского театра, Большой зал филармонии им. Д.Д.Шостаковича, Малый зал филармонии им.М.И.Глинки, Концертный зал им.А.К.Глазунова, Белый зал Шереметьевского дворца, Юсуповский дворец, Дворец князей Белосельских-Белозерских, Государственная академическая Капелла.

Выступает с концертами в Германии, Голландии, Испании, Италии, Швейцарии и США.

Является стипендиатом Санкт-Петербургского Филармонического общества, фонда «Русское исполнительское искусство», Фонда В.Спивакова и премии Ю.Темирканова.