Дебют ансамбля, который Юрий Башмет собрал из лучших выпускников, студентов и аспирантов Московской консерватории, состоялся 19 мая 1992 года в стенах Московской консерватории, а 21 мая «Солисты Москвы» уже играли на сцене зала «Плейель» в Париже. В активе коллектива концерты в «Карнеги-холле», «Концертгебау», «Сантори-холле» и Берлинской филармонии, выступления на «Променад-концертах» в лондонском «Альберт-холле», в циклах Рrestige de la Musik в «Плейель» и Sony-Classical в театре на Елисейских Полях. Ансамбль принимал участие в таких международных форумах как фестиваль М. Ростроповича в Эвиане (Франция), фестивали в Монтрё (Швейцария), «Декабрьские вечера» и «Эльба — музыкальный остров Европы». С «Солистами Москвы» выступали С.Рихтер, М.Ростропович, Г.Кремер, В.Третьяков, М.Венгеров, В.Репин, С.Чанг, Б.Хендрикс, Н.Гутман, и Т.Квастхофф. Одним из событий биографии коллектива стала совместная с М.Ростроповичем и Г.Кремером запись мировой премьеры «Концерта на троих» Шнитке. Ансамбль был несколько раз номинирован на премию «Грэмми» в категории «Лучшее исполнение камерной музыки», в том числе в 2007 году за диск с записью сочинений Шостаковича, Вайнберга и Свиридова. Выступления «Солистов Москвы» неоднократно передавались и записывались радиостанциями мира; ансамбль представлял Россию в масштабном проекте– трансляции десяти концертов, которыми корпорация Би-Би-Си отмечала наступление нового тысячелетия, из престижных залов стран Европы, Азии, Африки, Австралии, Южной и Северной Америки. За время существования «Солистам Москвы» удалось сохранить практически неизменный состав, что как отмечает сегодня Юрий Башмет, «дает нам возможность иметь свое лицо».

В феврале 2008 года Юрий Башмет и камерный ансамбль «Солисты Москвы» были удостоены премии «Грэмми» в номинации «Лучшее выступление в составе малого ансамбля» за исполнение произведений Стравинского и Прокофьева.