Получил музыкальное образование в Ленинградском Хоровом училище имени М.И.Глинки. С отличием закончил Петербургскую государственную консерваторию им.Н.А. Римского-Корсакова по двум специальностям: хоровое дирижирование у Е.П.Кудрявцевой (в 2000 году) и оперно-симфоническое дирижирование у Н.Г.Алексеева (в 2003 году). Затем продолжил обучение в аспирантуре, которую закончил в 2005 году.
В 1999 - 2001 гг. работал ассистентом главного дирижёра в Ульяновской филармонии. С 2001 года - дирижёр театра оперы и балета Санкт-Петербургской государственной консерватории, где за эти годы продирижировал более 30 различных спектаклей, среди которых «Иоланта», «Евгений Онегин», «Так поступают все», «Севильский цирюльник», «Лебединое озеро» и др.
Максим Алексеев выступает с симфоническими программами с оркестрами Санкт-Петербурга. Дебют дирижера на сцене Санкт-Петербургской филармонии состоялся в 2007 году.
В качестве приглашённого дирижёра сотрудничал с различными оркестрами в России и за рубежом, в числе которых Эстонский Национальный симфонический оркестр, Корейский симфонический оркестр, оркестр Чешского Национального театра.